2-Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: (2,0 Pontos)
f(x)=x^{3} \cdot \ln (x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
f(x)=x^{3}\,\ln(x+1).
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Seja
u(x)=x^{3} \quad\text{e}\quad v(x)=\ln(x+1).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x+1)\bigr)=\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
temos
f'(x)=3x^{2}\,\ln(x+1)+x^{3}\,\frac{1}{x+1}.

Resposta

f'(x)=3x^{2}\,\ln(x+1)+\frac{x^{3}}{\,x+1\,}.

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