Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: (2,0 Pontos)
m(x)=\operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
m(x)=\operatorname{cossec}x.
O conteúdo principal aqui é a derivada de funções trigonométricas, que podemos obter usando a regra do recíproco (ou a regra do quociente).

Passo 2

Reescrevemos a função em termos de seno:
m(x)=\operatorname{cossec}x = \frac{1}{\sin x}.

Passo 3

Para derivar m(x)=\tfrac{1}{\sin x}, aplicamos a regra da derivada do recíproco
\bigl(u^{-1}\bigr)' = -\frac{u'}{u^2}
com u(x)=\sin x. Então,
m'(x) = -\frac{u'(x)}{[u(x)]^2} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}.

Passo 4

Finalmente, escrevemos o resultado em termos de funções trigonométricas recíprocas:
\displaystyle \frac{1}{\sin x}=\operatorname{cossec}x e
\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.
Assim,
m'(x) = -\operatorname{cossec}x\;\cot x.

Resposta

m'(x) = -\operatorname{cossec}x\;\cot x.

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