Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: (2,0 Pontos)
\mathrm{b}-p(x)=\frac{x^{3} \ln (x+1)}{e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
p(x)=\frac{x^{3}\ln(x+1)}{e^{2x}}.
Para isso vamos usar as regras de derivação de produto, cadeia e logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos
p(x)=x^{3}\ln(x+1)\,e^{-2x}.
Definimos
f(x)=x^{3}\ln(x+1), \quad g(x)=e^{-2x},
de modo que p(x)=f(x)\,g(x).

Passo 3

Derivando f(x)=x^{3}\ln(x+1) por produto e logaritmo:
f'(x)=\bigl(x^{3}\bigr)'\ln(x+1)+x^{3}\bigl(\ln(x+1)\bigr)' =3x^{2}\ln(x+1)+x^{3}\cdot\frac{1}{x+1} =3x^{2}\ln(x+1)+\frac{x^{3}}{x+1}.

Passo 4

Derivando g(x)=e^{-2x} pela regra da cadeia:
g'(x)=e^{-2x}\cdot(-2)=-2e^{-2x}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto em p(x)=f(x)\,g(x):
p'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) =\Bigl(3x^{2}\ln(x+1)+\tfrac{x^{3}}{x+1}\Bigr)e^{-2x} +x^{3}\ln(x+1)\,\bigl(-2e^{-2x}\bigr).

Passo 6

Fatorando e^{-2x} e agrupando termos:
p'(x) =e^{-2x}\Bigl(3x^{2}\ln(x+1)+\tfrac{x^{3}}{x+1}-2x^{3}\ln(x+1)\Bigr) =e^{-2x}\Bigl(x^{2}(3-2x)\ln(x+1)+\tfrac{x^{3}}{x+1}\Bigr).

Resposta

p'(x)=e^{-2x}\Bigl(x^{2}(3-2x)\ln(x+1)+\frac{x^{3}}{x+1}\Bigr).

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