{ }^{a} Questāo. (40 pontos) Encontre a solução geral da equaçāo diferencial 2 y^{i v}+4 y^{\prime \prime}+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
2\,y^{(4)} + 4\,y'' + 2\,y = 0.
O conteúdo aqui é usar a equação característica para EDOs de coeficientes constantes.

Passo 2

Para simplificar, dividimos toda a equação por 2, obtendo
y^{(4)} + 2\,y'' + y = 0.

Passo 3

Assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo na equação simplificada, chegamos ao polinômio característico
r^4 + 2\,r^2 + 1 = 0.

Passo 4

Repare que
r^4 + 2\,r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2 = 0,
logo as raízes são
r^2 = -1 \quad\Rightarrow\quad r = i \text{ (multiplicidade 2)},\quad r = -i \text{ (multiplicidade 2)}.

Passo 5

Para raízes complexas conjugadas r=\pm i de multiplicidade 2, a forma geral da solução é
y(x) = e^{0\cdot x}\bigl[(C_1 \cos x + C_2 \sin x) + x\,(C_3 \cos x + C_4 \sin x)\bigr].
Como e^{0\cdot x}=1, temos a solução em termos reais.

Resposta

y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + C_{3}\,x\cos x + C_{4}\,x\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

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