Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: (2,0 Pontos)
\mathrm{a}-f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x+1)}{x^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
f(x)=\frac{\sin(x+1)}{x^{3}+2}
Para resolver usamos a regra do quociente e, dentro dela, a regra da cadeia (para derivar \sin(x+1)) e a regra do poder (para derivar x^3+2).

Passo 2

Definimos
u(x)=\sin(x+1),\quad v(x)=x^{3}+2. Derivando cada uma: - Pela regra da cadeia, u'(x)=\cos(x+1)\cdot\frac{d}{dx}(x+1)=\cos(x+1)\,.
- Pela regra do poder,
v'(x)=3x^{2}\,.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =\frac{\cos(x+1)\,(x^{3}+2)\;-\;\sin(x+1)\,3x^{2}}{(x^{3}+2)^{2}} \,.

Resposta

f'(x) =\frac{(x^{3}+2)\cos(x+1)-3x^{2}\sin(x+1)}{(x^{3}+2)^{2}}.

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