{ }^{\text {a }} Questão. (20 pontos) Suponha que ao usar um método numérico (por exemplo, método de Euler) com passo constante h>0 para resolver uma EDO de primeira ordem y^{\prime}=f(t, y) com condição inicial y\left(t_{0}\right)=y_{0} para obter um valor aproximado y_{n+1} da solução calculada no ponto \bar{t}=t_{n+1} tenha cometido um erro máximo menor ou igual a M h^{\alpha+1} (sendo que M é uma constante positiva e \alpha um número natural maior ou igual a um) em todos os passos e que tenha dado n passos para chegar no ponto \bar{t}. Mostre que o erro global é menor ou igual a M h^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado trata de aproximar a solução da EDO
y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0}
num intervalo até \bar t = t_{n+1}=t_{0}+nh por um método de passo fixo h. Foi dado que, em cada passo, o erro local (ou truncamento) satisfaz