Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
;
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é derivação de funções holomorfas no plano complexo, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, além de saber derivar polinômios e exponencial.
Passo 2
Definimos
e
. Pela regra do produto, temos
Passo 3
Derivando
pela regra da potência (
), obtemos
.
Passo 4
Derivando
, como a derivada de
é
e
, pela regra da cadeia vem
.
Passo 5
Substituindo em
,
que também pode ser escrita como
Passo 6
Sabendo que polinômios e a função exponencial são inteiras (holomorfas em todo
), o produto também é inteiro, logo
é holomorfa em
.
Resposta
A derivada é
e a função é holomorfa em todo o conjunto
.