Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
f(z)=z^2 e^z+i;

Passo 1

Temos a função f(z)=z^2e^z+i. O conteúdo é derivação de funções holomorfas no plano complexo, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, além de saber derivar polinômios e exponencial.

Passo 2

Definimos u(z)=z^2 e v(z)=e^z+i. Pela regra do produto, temos
f'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).

Passo 3

Derivando u(z)=z^2 pela regra da potência ( d/dz,z^n=nz^n-1), obtemos u'(z)=2z.

Passo 4

Derivando v(z)=e^z+i, como a derivada de e^w é e^w e d/dz,(z+i)=1, pela regra da cadeia vem v'(z)=e^z+i.

Passo 5

Substituindo em f'(z)=u'v+uv',
f'(z)=2z,e^z+i+z^2e^z+i=e^z+i(2z+z^2)
que também pode ser escrita como f'(z)=z(z+2)e^z+i.

Passo 6

Sabendo que polinômios e a função exponencial são inteiras (holomorfas em todo C), o produto também é inteiro, logo f é holomorfa em C.

Resposta

A derivada é f'(z)=e^z+i(z^2+2z) e a função é holomorfa em todo o conjunto C.

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