Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
;
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a derivada de primeira ordem de f(z)=i e^{1/z}, indicando as regras de derivação usadas e determinar o domínio onde f é holomorfa. O conteúdo envolve derivadas em funções de variável complexa, em particular a regra do produto (para constantes) e a regra da cadeia, além de análise do domínio de analiticidade.
Passo 2
Para calcular f’(z) usamos primeiro que i é constante, então f(z)=i·g(z) com g(z)=e^{1/z} (regra do produto com constante). Em seguida aplicamos a regra da cadeia em g: definimos u(z)=1/z e g(z)=e^{u(z)}, logo
Assim,
Como f’(z)=i·g’(z), temos:
Passo 3
Para determinar o domínio de holomorfia, observamos que 1/z é holomorfa em
, o exponencial é inteiro (holomorfo em todo
) e a multiplicação por i não introduz singularidades. Logo, f é holomorfa em
.
Resposta
f’(z) = -\frac{i,e{1/z}}{z2}, domínio de holomorfia:
.