Encontre a área da região limitada pelas curvas:
y=e^x-1, y=x^2-x, x=1

Passo 1

O problema pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas y=e^x-1, y=x^2-x e a reta vertical x=1. O assunto é cálculo de área entre curvas e vamos precisar: (i) achar pontos de interseção, (ii) identificar qual curva fica acima no intervalo, e (iii) montar e calcular uma integral definida.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção entre y=e^x-1 e y=x^2-x, igualamos as expressões e obtemos
e^x - 1 = x^2 - x
Observando valores inteiros, em x=0 temos e^0-1=0 e 0^2-0=0, logo x=0 é solução. Não há outra interseção antes de x=1, pois a reta x=1 fecha a região.

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a superior entre x=0 e x=1. Por exemplo, em x=0.5 temos
e^0.5-1approx0.65, 0.5^2-0.5=-0.25,
então e^x-1 está acima de x^2-x nesse intervalo.

Passo 4

A área pedida é dada pela integral definida da diferença entre a curva superior e a inferior, de x=0 até x=1:
A=integral0^1l[(e^x-1)-(x^2-x)r],dx

Passo 5

Vamos simplificar o integrando e calcular a antiderivada. O integrando é
e^x-1-x^2+x=e^x+x-x^2-1
Uma antiderivada para isso é
integral(e^x+x-x^2-1),dx=e^x+x^22-x^33-x+C

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 1:
A=l[e^x+x^22-x^33-xr]0^1 =l(e+tfrac12-tfrac13-1r)-l(1+0-0-0r)
Simplificando:
e+tfrac12-tfrac13-1=e-tfrac56,
e portanto
A=(e-tfrac56)-1=e-tfrac116

Resposta

e-\tfrac{11}{6}

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