Encontre a área da região limitada pelas curvas:
Passo 1
O problema pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
e a reta vertical
. O assunto é cálculo de área entre curvas e vamos precisar: (i) achar pontos de interseção, (ii) identificar qual curva fica acima no intervalo, e (iii) montar e calcular uma integral definida.
Passo 2
Para achar o ponto de interseção entre
e
, igualamos as expressões e obtemos
Observando valores inteiros, em
temos
e
, logo
é solução. Não há outra interseção antes de
, pois a reta
fecha a região.
Passo 3
Precisamos saber qual curva é a superior entre
e
. Por exemplo, em
temos
então
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
A área pedida é dada pela integral definida da diferença entre a curva superior e a inferior, de
até
:
Passo 5
Vamos simplificar o integrando e calcular a antiderivada. O integrando é
Uma antiderivada para isso é
Passo 6
Agora avaliamos de 0 a 1:
Simplificando:
e portanto
Resposta
e-\tfrac{11}{6}