Encontre a área da região limitada pelas curvas:
x=(y-2)^2 y=-x+4

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x=(y-2)^2 (uma parábola que se abre para a direita) e y=-x+4 (reta com declive negativo). O conteúdo é cálculo de área por integração, integrando em função de y. Precisamos: expressar ambas as curvas como x=f(y), achar interseções e montar a integral da diferença xdireita-xesquerda.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de x:
(y-2)^2 ,=, 4 - y
Expandindo e rearranjando:
y^2 - 4y + 4 = 4 - y
y^2 - 3y = 0 Longrightarrow y(y-3)=0
Logo, y=0 e y=3 são os limites de integração.

Passo 3

Para decidir qual curva fica à direita e qual à esquerda no intervalo [0,3], avaliamos em um ponto médio (por exemplo y=1.5):
  • xparabola=(1.5-2)^2=0.25
  • xreta=4-1.5=2.5
    Como 2.5>0.25, a reta x=4-y é a fronteira direita e a parábola x=(y-2)^2 a fronteira esquerda.

Passo 4

Montamos a integral da área tomando a diferença xdireita-xesquerda:
A = integraly=0^3 l[(4 - y) - (y-2)^2r] ,dy
Simplificando o integrando:
(4-y)-(y^2 -4y+4) = -y^2 +3y

Passo 5

Agora calculamos a integral:
A = integral0^3 (-y^2 +3y) ,dy = l[-tfracy^33 + tfrac3y^22r]0^3 = l(-9 + tfrac272r) = tfrac92

Resposta

9/2

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