Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
f(z)=3 e^2 z-i e^-zz^2+1;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
f(z)=3e^2z-i e^-zz^2+1, usando as regras de derivação de soma, constante, exponencial e quociente, e também determinar onde f é holomorfa. Vamos precisar definir o numerador u(z) e o denominador v(z), calcular u'(z) e v'(z), aplicar a regra do quociente e, por fim, analisar onde z^2+1=0.

Passo 2

Chamando u(z)=3e^2z-i e^-z, usamos:
  • Regra da soma
  • Derivada de ce^az que é c a e^az
Para u(z) temos:
u'(z)=3cdot2e^2z-icdot(-1)e^-z=6e^2z+i e^-z

Passo 3

Chamando v(z)=z^2+1, usamos a derivada de potência:
v'(z)=2z

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(z)=u'(z)v(z)-u(z)v'(z)[v(z)]^2= (6e^2z+i e^-z)(z^2+1)-2z(3e^2z-i e^-z)(z^2+1)^2

Passo 5

Para simplificar, basta agrupar termos no numerador se desejar, mas a forma acima já é aceitável. Como o numerador é combinação de exponenciais (inteiramente holomorfas) e o denominador só zera em z^2+1=0, concluímos que f é holomorfa em
Csetminuspm i.

Resposta

f'(z)=(6e^2z+i e^-z)(z^2+1)-2z(3e^2z-i e^-z)(z^2+1)^2
Domínio de holomorfia: Csetminuspm i.

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