Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
f(z)=log (z+2)-z^2;

Passo 1

Temos a função f(z)=log(z+2)-z^2. O conteúdo aqui é derivação de funções holomorfas, e vamos usar a regra da soma, a regra da derivação do logaritmo (cadeia) e a regra da potência.

Passo 2

Pela regra da soma, f(z) é soma de g(z)=log(z+2) e h(z)=-z^2. Logo,
f'(z)=g'(z)+h'(z)

Passo 3

Para g(z)=log(z+2) usamos a derivada do logaritmo composta com u(z)=z+2. Pela regra da cadeia:
g'(z)=u'(z)u(z)=1z+2

Passo 4

Para h(z)=-z^2 usamos a regra da potência:
h'(z)=-2z

Passo 5

Somando os resultados:
f'(z)=1z+2-2z

Passo 6

A função log(z+2) (ramo principal) é holomorfa em CsetminusxinR:x<=-2. Como -z^2 é inteira, f é holomorfa no mesmo domínio.

Resposta

f'(z)=1z+2-2z, holomorfa em CsetminusxinR:x<=-2.

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