Encontre a área da região limitada pelas curvas:
y=x^3, y=3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas y = x³ e y = 3x. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, determinar qual curva está acima em cada intervalo, montar as integrais da diferença e calcular.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções: x^3 = 3x. Isso leva a x^3 - 3x = 0 e fatorando: x(x^2 - 3) = 0. Logo, os pontos de interseção são x = -raiz3,;0,;raiz3.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está por cima em cada trecho. Testando um ponto em (-raiz3, 0), digamos x = -1, temos x^3 = -1 e 3x = -3, então x^3 > 3x. Em (0, raiz3), por exemplo em x=1, temos x^3 = 1 e 3x = 3, então 3x > x^3.

Passo 4

Montamos a área como a soma de duas integrais: em [-raiz3,0], a função de cima é x^3 e a de baixo é 3x; em [0,raiz3], a de cima é 3x e a de baixo é x^3. Assim,
Área = integral-raiz3^0 l(x^3 - 3xr),dx + integral0^raiz3 l(3x - x^3r),dxÁ

Passo 5

Agora calculamos cada integral:
Para integral-raiz3^0 (x^3 - 3x),dx, temos antiderivada x^44 - 3x^22. Avaliando de -raiz3 a 0 dá
0 - l((-raiz3)^44 - 3(-raiz3)^22r) = 0 - l(94 - 92r) = 94

Passo 6

Para integral0^raiz3 (3x - x^3),dx, a antiderivada é 3x^22 - x^44. Avaliando de 0 a raiz3
l(3cdot32 - 94r) - 0 = 92 - 94 = 94

Passo 7

Somando as duas partes obtemos tfrac94 + tfrac94 = tfrac92.

Resposta

dfrac92

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