Encontre a área da região limitada pelas curvas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas y = x³ e y = 3x. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, determinar qual curva está acima em cada intervalo, montar as integrais da diferença e calcular.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções:
. Isso leva a
e fatorando:
. Logo, os pontos de interseção são
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está por cima em cada trecho. Testando um ponto em
, digamos
, temos
e
, então
. Em
, por exemplo em
, temos
e
, então
.
Passo 4
Montamos a área como a soma de duas integrais: em
, a função de cima é
e a de baixo é
; em
, a de cima é
e a de baixo é
. Assim,
Passo 5
Agora calculamos cada integral:
Para , temos antiderivada
. Avaliando de
a 0 dá
Para
Passo 6
Para
, a antiderivada é
. Avaliando de 0 a
dá
Passo 7
Somando as duas partes obtemos
.