Calcule a integral tripla de
na região
em coordenadas cilíndricas.
e
é a região
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x²+y²+z² sobre a região W usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar converter x²+y² em r², lembrar que o elemento de volume é r
dr
dθ
dz e usar os limites r∈[0,4], θ∈[π/4,3π/4], z∈[–1,1].
dr
dθ
dz e usar os limites r∈[0,4], θ∈[π/4,3π/4], z∈[–1,1].
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas f fica r²+z² e o jacobiano é r. Assim montamos a integral:
[\int_{\theta=\pi/4}{3\pi/4}\int_{r=0}{4}\int_{z=-1}{1}(r{2}+z^{2}),r,dz,dr,d\theta]
[\int_{\theta=\pi/4}{3\pi/4}\int_{r=0}{4}\int_{z=-1}{1}(r{2}+z^{2}),r,dz,dr,d\theta]
Passo 3
Primeiro integramos em z:
[\int_{z=-1}{1}(r{2}+z^{2}),dz = \int_{-1}{1}r{2},dz + \int_{-1}{1}z{2},dz = 2r^{2} + \tfrac{2}{3}]
[\int_{z=-1}{1}(r{2}+z^{2}),dz = \int_{-1}{1}r{2},dz + \int_{-1}{1}z{2},dz = 2r^{2} + \tfrac{2}{3}]
Passo 4
Em seguida integramos em r:
[\int_{r=0}{4}\bigl(2r{2}+\tfrac{2}{3}\bigr),r,dr = \int_{0}{4}(2r{3}+\tfrac{2}{3}r),dr = 128 + \tfrac{16}{3} = \tfrac{400}{3}]
[\int_{r=0}{4}\bigl(2r{2}+\tfrac{2}{3}\bigr),r,dr = \int_{0}{4}(2r{3}+\tfrac{2}{3}r),dr = 128 + \tfrac{16}{3} = \tfrac{400}{3}]
Passo 5
Por fim integramos em θ:
[\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\tfrac{400}{3},d\theta = \tfrac{400}{3}\cdot\bigl(\tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \tfrac{400}{3}\cdot\tfrac{\pi}{2} = \tfrac{200\pi}{3}]
[\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\tfrac{400}{3},d\theta = \tfrac{400}{3}\cdot\bigl(\tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \tfrac{400}{3}\cdot\tfrac{\pi}{2} = \tfrac{200\pi}{3}]