Calcule a integral tripla de f na região W em coordenadas cilíndricas.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 e W é a região 0 <= r <= 4, pi4 <= theta <= 3 pi4 e-1 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x²+y²+z² sobre a região W usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar converter x²+y² em r², lembrar que o elemento de volume é r
dr

dz e usar os limites r∈[0,4], θ∈[π/4,3π/4], z∈[–1,1].

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas f fica r²+z² e o jacobiano é r. Assim montamos a integral:
[\int_{\theta=\pi/4}{3\pi/4}\int_{r=0}{4}\int_{z=-1}{1}(r{2}+z^{2}),r,dz,dr,d\theta]

Passo 3

Primeiro integramos em z:
[\int_{z=-1}{1}(r{2}+z^{2}),dz = \int_{-1}{1}r{2},dz + \int_{-1}{1}z{2},dz = 2r^{2} + \tfrac{2}{3}]

Passo 4

Em seguida integramos em r:
[\int_{r=0}{4}\bigl(2r{2}+\tfrac{2}{3}\bigr),r,dr = \int_{0}{4}(2r{3}+\tfrac{2}{3}r),dr = 128 + \tfrac{16}{3} = \tfrac{400}{3}]

Passo 5

Por fim integramos em θ:
[\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\tfrac{400}{3},d\theta = \tfrac{400}{3}\cdot\bigl(\tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \tfrac{400}{3}\cdot\tfrac{\pi}{2} = \tfrac{200\pi}{3}]

Resposta

200pi3

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