Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
f(z)=(z+1) log (z);

Passo 1

Queremos derivar a função f(z)=(z+1)log(z) usando conceitos de análise complexa. O conteúdo principal é derivada de funções holomorfas: aqui vamos precisar da regra do produto e da derivada do logaritmo complexo no ramo principal.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: f'(z)=(z+1)'cdotlog(z)+(z+1)cdot(log(z))'Sabendo que a derivada de z+1 é 1 e que a derivada do logaritmo (ramo principal) é (log(z))'=1/z, obtemos: f'(z)=1cdotlog(z)+(z+1)cdot1z=log(z)+z+1zAgora simplificamos: f'(z)=log(z)+1+1z.

Passo 3

A função log(z) no ramo principal é holomorfa em Csetminus(-infty,0]. Como z+1 é inteira, o produto (z+1)log(z) é holomorfo exatamente onde log(z) é, isto é em Csetminus(-infty,0].

Resposta

f'(z)=log(z)+1+1z, holomorfa em Csetminus(-infty,0].

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