Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de primeira ordem de
f(z)=logl(z^2+1r)
identificando as regras de derivação usadas e determinar o domínio onde f é holomorfa. O conteúdo principal é derivação de funções complexas via regra da cadeia e uso da derivada do logaritmo.

Passo 2

A função log(w) (ramo principal) é holomorfa em Csetminus(-infty,0] e satisfaz
ddwlog(w)=1w
Esta é a regra de derivação do logaritmo complexo.

Passo 3

Definimos a função intermediária
g(z)=z^2+1
Assim podemos ver f(z)=logl(g(z)r) e aplicar a regra da cadeia: se f(z)=h(g(z)), então
f'(z)=h'(g(z))cdot g'(z)

Passo 4

Calculamos a derivada de g(z):
g'(z)=2z
Aplicando na fórmula da regra da cadeia:
f'(z)=1g(z)cdot g'(z)=2zz^2+1

Passo 5

Para que f(z)=log(g(z)) seja holomorfa, precisamos de duas coisas:
  1. g(z) não pode estar em (-infty,0], pois o log não é holomorfo aí.
  2. g(z)neq0, para evitar zeros no denominador.
    Isso equivale a exigir
z^2+1notin(-infty,0]e z^2+1neq0
ou seja, zneqpm i e z^2+1 nunca cai no corte (-infty,0].

Resposta

f'(z)=dfrac2zz^2+1 ; domínio de holomorfia: zin C:,z^2+1notin(-infty,0], o que inclui em particular zneqpm i.

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