Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de primeira ordem de
identificando as regras de derivação usadas e determinar o domínio onde f é holomorfa. O conteúdo principal é derivação de funções complexas via regra da cadeia e uso da derivada do logaritmo.
Passo 2
A função
(ramo principal) é holomorfa em
e satisfaz
Esta é a regra de derivação do logaritmo complexo.
Passo 3
Definimos a função intermediária
Assim podemos ver
e aplicar a regra da cadeia: se
, então
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Aplicando na fórmula da regra da cadeia:
Passo 5
Para que
seja holomorfa, precisamos de duas coisas:
-
não pode estar em , pois o log não é holomorfo aí. -
, para evitar zeros no denominador.
Isso equivale a exigir
ou seja,
e
nunca cai no corte
.