Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
f(z)=e^z log (z);

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função complexa f(z)=e^z·log(z), usando as regras de derivação de funções elementares (exponencial e logaritmo) e a regra do produto.

Passo 2

Para derivar um produto g(z)·h(z) usamos a regra do produto: f’(z)=g’(z)·h(z)+g(z)·h’(z). Aqui podemos tomar g(z)=e^z e h(z)=log(z).

Passo 3

Calculamos cada derivada separadamente: a derivada da exponencial é g’(z)=d/dz
ez=ez; a derivada do logaritmo (ramo principal) é h’(z)=d/dz
log(z)=1/z.

Passo 4

Substituindo na regra do produto obtemos f’(z)=ez·log(z)+ez·(1/z). Fatorando e^z, fica: f’(z)=e^z·\bigl(log(z)+1/z\bigr).

Passo 5

Quanto ao domínio de holomorfia, e^z é inteira (holomorfa em todo C) e log(z) (ramo principal) é holomorfa em Csetminus(-infty,0]. Logo f(z) é holomorfa em Csetminus(-infty,0].

Resposta

f'(z)=e^z,log(z)+e^zz=e^zl(log(z)+1zr), holomorfa em Csetminus(-infty,0].

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