Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo, indicando cada uma das regras de derivação utilizadas e qual é o domínio onde a função é holomorfa:
;
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função complexa f(z)=e^z·log(z), usando as regras de derivação de funções elementares (exponencial e logaritmo) e a regra do produto.
Passo 2
Para derivar um produto g(z)·h(z) usamos a regra do produto: f’(z)=g’(z)·h(z)+g(z)·h’(z). Aqui podemos tomar g(z)=e^z e h(z)=log(z).
Passo 3
Calculamos cada derivada separadamente: a derivada da exponencial é g’(z)=d/dz
ez=ez; a derivada do logaritmo (ramo principal) é h’(z)=d/dz
log(z)=1/z.
ez=ez; a derivada do logaritmo (ramo principal) é h’(z)=d/dz
log(z)=1/z.
Passo 4
Substituindo na regra do produto obtemos f’(z)=ez·log(z)+ez·(1/z). Fatorando e^z, fica: f’(z)=e^z·\bigl(log(z)+1/z\bigr).
Passo 5
Quanto ao domínio de holomorfia, e^z é inteira (holomorfa em todo
) e log(z) (ramo principal) é holomorfa em
. Logo f(z) é holomorfa em
.