Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões delimitadas pelas seguintes curvas:
y=e^x sin x, x=0, x=pi, eixo- x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região sob a curva y=e^xsin x entre x=0 e x=pi. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis), que usa a fórmula V=piintegrala^b [f(x)]^2,dx.

Passo 2

Aplicando o método dos discos, temos
V = pi integral0^pi l(e^x sin xr)^2 ,dx = pi integral0^pi e^2x sin^2 x ,dx

Passo 3

Para integrar e^2xsin^2 x, usamos a identidade trigonométrica
sin^2 x = tfrac1-cos(2x)2 Então o integrando vira
e^2xsin^2 x = tfrac12 e^2x - tfrac12 e^2xcos(2x)

Passo 4

Dividimos a integral em duas:
integral0^pi e^2xsin^2 x,dx = tfrac12 integral0^pi e^2x,dx - tfrac12 integral0^pi e^2xcos(2x),dx

Passo 5

A primeira integral é direta:
integral0^pi e^2x,dx = l[tfrac12e^2xr]0^pi = tfrac12l(e^2pi-1r)

Passo 6

Para a segunda, usamos a fórmula
integral e^axcos(bx),dx = e^axacos(bx)+bsin(bx)a^2+b^2 Aqui a=2 e b=2, logo
integral0^pie^2xcos(2x),dx = l[ e^2x2cos(2x)+2sin(2x)2^2+2^2r]0^pi = l[e^2x(cos(2x)+sin(2x))4r]0^pi

Passo 7

Calculando os limites: em x=pi, cos2pi+sin2pi=1+0=1; em x=0, cos0+sin0=1+0=1. Então
integral0^pie^2xcos(2x),dx = e^2pi-14

Passo 8

Recolocando na divisão:
integral0^pie^2xsin^2 x,dx = tfrac12cdottfrac12(e^2pi-1) - tfrac12cdottfrace^2pi-14 = e^2pi-18

Passo 9

Finalmente, multiplicando por pi temos o volume:

Resposta

V = picdottfrace^2pi-18 = dfracpi8(e^2pi-1).

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