Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção em que ocorre:
z=e^2 y arctg(y3 x), P=(1,3)

Passo 1

A questão pede a derivada direcional máxima de f(x,y)=e^2yarctgl(tfracy3xr) no ponto P=(1,3) e a direção em que isso ocorre. Vamos usar que a derivada direcional máxima é o módulo do gradiente nabla f(P) e a direção é o próprio nabla f(P) normalizado.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Usando regra da cadeia e produto, obtemos:
fx(x,y)&=e^2ycdot11+(tfracy3x)^2cdotl(-y3x^2r) =e^2ycdot-3y9x^2+y^2, fy(x,y)&=2e^2yarctgl(y3xr)+e^2ycdot11+(tfracy3x)^2cdot13x =2e^2yarctgl(y3xr)+e^2ycdot3x9x^2+y^2

Passo 3

Agora avaliamos em P=(1,3). Como y/(3x)=1 e arctg(1)=pi/4, temos:
fx(1,3)&=e^6cdot-3cdot39+9=-e^62, fy(1,3)&=2e^6cdotpi4+e^6cdot318=e^6l(pi2+16r)

Passo 4

O gradiente em P é
nabla f(1,3)=l(-tfrace^62,;e^6l(tfracpi2+tfrac16r)r)
A derivada direcional máxima é o seu módulo:
|nabla f(1,3)|=e^6raizl(-tfrac12r)^2+l(tfracpi2+tfrac16r)^2 =e^6raiz14+l(pi2+16r)^2

Passo 5

A direção em que ocorre é o gradiente normalizado. Extraindo um fator comum, fica
u=1raiz9+(3pi+1)^2,(-3,,3pi+1)
que é a mesma direção de nabla f(1,3).

Resposta

max Duf(1,3)=e^6raiztfrac14+l(tfracpi2+tfrac16r)^2, em direção u=dfrac1raiz9+(3pi+1)^2(-3,,3pi+1).

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