Calcule as derivadas primeira e segunda de:
f(x)=x^{5} \quad 0,125 x^{2}+0,25 x;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
f(x)=x^{5}+0,125\,x^{2}+0,25\,x.
O conteúdo necessário é a regra do poder, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl[x^{n}\bigr]=n\,x^{n-1},
e a linearidade da derivada (podemos derivar termo a termo, tirando constantes para fora).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x) termo a termo:
  • De x^{5}, aplicando a regra do poder, vem 5\,x^{4}.
  • De 0,125\,x^{2}, trazemos a constante 0,125 e derivamos x^{2}, obtendo 2\,x. Logo esse termo vira
0,125\cdot 2\,x = 0,25\,x.
  • De 0,25\,x, como x tem “poder 1”, a derivada é simplesmente 0,25.
Portanto, juntando tudo:
f'(x)=5\,x^{4}+0,25\,x+0,25.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x):
  • De 5\,x^{4} vem 5\cdot4\,x^{3}=20\,x^{3}.
  • De 0,25\,x vem 0,25.
  • De 0,25 (constante) vem 0.
Assim
f''(x)=20\,x^{3}+0,25.

Resposta

f'(x)=5\,x^{4}+0,25\,x+0,25
f''(x)=20\,x^{3}+0,25

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