Calcule as derivadas primeira, segunda, terceira e quarta de cada uma das funções dadas.
y=sen 3 x.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda, terceira e quarta ordem da função
y = sin(3x)
Este é um problema de derivadas de funções trigonométricas composto, em que aplicaremos a regra da cadeia repetidas vezes, sabendo que
ddxl(sin(u)r)=cos(u),u' e ddxl(cos(u)r)=-sin(u),u'

Passo 2

Para obter y', aplicamos a regra da cadeia a sin(3x):
o derivado de sin é cos, vezes a derivada de 3x que é 3. Logo,
y' = 3cos(3x)

Passo 3

Para y'', derivamos y'=3cos(3x).
Usando a regra da cadeia em cos(3x) (derivado de cos é -sin), temos:
y'' = 3 cdot l(-sin(3x)r)cdot 3 = -9sin(3x)

Passo 4

Para y''', derivamos y''=-9sin(3x).
Aplicando de novo a regra da cadeia em sin(3x):
y''' = -9 cdot cos(3x)cdot 3 = -27cos(3x)

Passo 5

Para y^(4), derivamos y'''=-27cos(3x).
Derivando cos(3x) resulta em -sin(3x) vezes 3:
y^(4) = -27 cdot l(-sin(3x)r)cdot 3 = 81sin(3x)

Resposta

y' = 3cos(3x)
y'' = -9sin(3x)
y''' = -27cos(3x)
y^(4) = 81sin(3x)

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