Calcule as derivadas primeira, segunda, terceira e quarta de cada uma das funções dadas.
y=cos (3 t-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira até quarta ordem da função trigonométrica
y = cos(3t - 1)
O conteúdo envolvido é a derivada de função composta, usando a regra da cadeia: se y = f(u) e u = g(t), então
y' = f'(u),g'(t)

Passo 2

Definimos a função interna
u(t) = 3t - 1,
cuja derivada é
u'(t) = 3
Como a derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u), pela regra da cadeia temos
y'(t) = -sinl(u(t)r),u'(t) = -sin(3t-1)cdot 3 = -3sin(3t-1)

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos
y'(t) = -3sin(3t-1)
A derivada de sin(u) em relação a u é cos(u). Logo, ainda pela cadeia,
y''(t) = -3l[cos(3t-1)cdot 3r] = -9cos(3t-1)

Passo 4

Agora derivamos
y''(t) = -9cos(3t-1)
A derivada de cos(u) é -sin(u). Então
y'''(t) = -9l[-sin(3t-1)cdot 3r] = 27sin(3t-1)

Passo 5

Por fim, derivamos
y'''(t) = 27sin(3t-1)
Aplicando novamente a cadeia e sabendo que a derivada de sin(u) é cos(u), obtemos
y''''(t) = 27l[cos(3t-1)cdot 3r] = 81cos(3t-1)

Resposta

y' = -3sin(3t-1),
y'' = -9cos(3t-1),
y''' = 27sin(3t-1),
y'''' = 81cos(3t-1)

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