Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
raizn+2-raizn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an=raizn+2-raizn converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o seu limite. O conteúdo envolve limites de sequência e a principal ferramenta será a racionalização usando o conjugado.

Passo 2

Começamos racionalizando a diferença. Multiplicamos e dividimos por raizn+2+raizn para simplificar a expressão.
an=raizn+2-raizn=(raizn+2-raizn)(raizn+2+raizn)raizn+2+raizn=(n+2)-nraizn+2+raizn=2raizn+2+raizn

Passo 3

Agora avaliamos o limite de an=tfrac2raizn+2+raizn quando ntoinfty. Note que
raizn+2+raizn=raiznl(raiz1+tfrac2n+1r)
e como tfrac2nto0, temos raiz1+tfrac2nto1. Logo para grandes n,
an=2raiznl(raiz1+2/n+1r)approx22raizn=1raiznto0
Portanto, o limite de an é zero.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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