Calcule as derivadas primeira, segunda, terceira e quarta de cada uma das funções dadas.
y=sen(5 t+2).

Passo 1

O enunciado pede as quatro primeiras derivadas da função
y = sin(5t + 2)
O conteúdo principal aqui é aplicação da regra da cadeia repetidas vezes: toda vez que derivamos sin(u) obtemos cos(u)cdot u', e ao derivar cos(u) obtemos -sin(u)cdot u'.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra da cadeia em sin(5t+2). Como tfracddtl[sin(u)r]=cos(u),u' e u=5t+2 tem u'=5, vem
y' = cos(5t+2)cdot5 = 5cos(5t+2)

Passo 3

Para a segunda derivada derivamos y'=5cos(5t+2). Usando tfracddt[cos(u)]=-sin(u),u' com u'=5, obtemos
y'' = 5l(-sin(5t+2)r)cdot5 = -25sin(5t+2)

Passo 4

A terceira derivada sai de y''=-25sin(5t+2). Aplicando de novo a regra da cadeia para sin(u),
y''' = -25cos(5t+2)cdot5 = -125cos(5t+2)

Passo 5

Por fim, a quarta derivada deriva y'''=-125cos(5t+2). Usando tfracddt[cos(u)]=-sin(u),u' com u'=5,
y^(4) = -125l(-sin(5t+2)r)cdot5 = 625sin(5t+2)

Resposta

y' = 5cos(5t+2)
y'' = -25sin(5t+2)
y''' = -125cos(5t+2)
y^(4) = 625sin(5t+2)

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