Determine as derivadas das funções abaixo:
y=(x^2+1) cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função y = (x^2 + 1) cos(x) . Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a Regra do Produto, que é útil quando temos a derivada de duas funções multiplicadas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas. No nosso caso, temos:
  • u(x) = x^2 + 1
  • v(x) = cos(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de cada uma dessas funções separadamente.
Para u(x) = x^2 + 1 :
u'(x) = ddx(x^2) + ddx(1) = 2x + 0 = 2x
Para v(x) = cos(x) :
v'(x) = ddx(cos(x)) = -sin(x)

Passo 4

Com as derivadas de u(x) e v(x) calculadas, agora aplicamos a Regra do Produto, que diz:
dydx = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
dydx = (2x)(cos(x)) + (x^2 + 1)(-sin(x))

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
dydx = 2x cos(x) - (x^2 + 1) sin(x)

Resposta

A derivada da função y = (x^2 + 1) cos(x) é:
dydx = 2x cos(x) - (x^2 + 1) sin(x)

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