Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
ln (2+e^n)3 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an=lnl(2+e^nr)3n converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo envolvido é análise de limite de sequência usando equivalências de funções.

Passo 2

Para grandes valores de n, temos e^ngg2, logo 2+e^nsim e^n. Assim, lnl(2+e^nr)simln(e^n)=n. Isso significa que, quando ntoinfty,

Passo 3

an=lnl(2+e^nr)3nsim n3n=13

Passo 4

Como a diferença entre ln(2+e^n) e n tende a zero quando dividida por n, concluímos que antotfrac13.

Resposta

A sequência converge e seu limite é tfrac13.

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