Calcule as derivadas primeira, segunda, terceira e quarta de cada uma das funções dadas.
y=sen(omega t+phi).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas da função
y = sin(omega t + phi)
O conteúdo aqui é a diferenciação de função composta, usando a regra da cadeia: se u = u(t), então
ddtsin(u)=cos(u),u' e ddtcos(u)=-sin(u),u'

Passo 2

Para a primeira derivada, defino
u = omega t + phi,
então
y' = dydt = ddtsin(u) = cos(u),u' = cos(omega t + phi),omega = omegacos(omega t + phi)

Passo 3

Para a segunda derivada, diferencio y'=omegacos(omega t+phi). Como omega é constante,
y'' = ddtl(omegacos(u)r) = omegal(-sin(u)r),u' = -omegasin(omega t+phi),omega = -omega^2sin(omega t+phi)

Passo 4

Para a terceira derivada, diferencio y''=-omega^2sin(omega t+phi):
y''' = ddtl(-omega^2sin(u)r) = -omega^2cos(u),u' = -omega^2cos(omega t+phi),omega = -omega^3cos(omega t+phi)

Passo 5

Para a quarta derivada, diferencio y'''=-omega^3cos(omega t+phi):
y^(4) = ddtl(-omega^3cos(u)r) = -omega^3l(-sin(u)r),u' = omega^3sin(omega t+phi),omega = omega^4sin(omega t+phi)

Resposta

y' = omegacos(omega t + phi)
y'' = -omega^2sin(omega t + phi)
y''' = -omega^3cos(omega t + phi)
y^(4) = omega^4sin(omega t + phi)

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