Calcule as derivadas primeira, segunda, terceira e quarta de cada uma das funções dadas.
y=cos (omega t+phi).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira a quarta da função
y = cos(omega t + phi)
Para isso vamos usar o princípio da cadeia, lembrando que
  • ddul[cos(u)r] = -sin(u),
  • ddt( omega t + phi ) = omega.

Passo 2

Calculando a primeira derivada y':
Aplicamos a cadeia em cos(omega t + phi):
y' = ddtl[cos(omega t + phi)r] = -sin(omega t + phi);cdot;ddt(omega t + phi) = -omega,sin(omega t + phi)

Passo 3

Calculando a segunda derivada y'':
Partimos de y' = -omegasin(omega t + phi) e aplicamos a cadeia de novo, sabendo que ddu[sin(u)] = cos(u):
y'' = ddtl[-omegasin(omega t + phi)r] = -omegacos(omega t + phi);cdot;ddt(omega t + phi) = -omega^2,cos(omega t + phi)

Passo 4

Calculando a terceira derivada y''':
Agora derivamos y'' = -omega^2cos(omega t + phi), usando ddu[cos(u)] = -sin(u):
y''' = ddtl[-omega^2cos(omega t + phi)r] = -omega^2l(-sin(omega t + phi)r);cdot;ddt(omega t + phi) = omega^3,sin(omega t + phi)

Passo 5

Calculando a quarta derivada y'''':
Derivamos y''' = omega^3sin(omega t + phi), usando du[sin(u)] = cos(u):
y'''' = ddtl[omega^3sin(omega t + phi)r] = omega^3cos(omega t + phi);cdot;ddt(omega t + phi) = omega^4,cos(omega t + phi)

Resposta

y’ = -omega,sin(omega t + phi)
y’’ = -omega^2,cos(omega t + phi)
y’’’ = omega^3,sin(omega t + phi)
y’’’’ = omega^4,cos(omega t + phi)

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