Determine as derivadas das funções abaixo:
g(t)=t^3-2t+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função g(t) = t^3 - 2t + 1 . A gente vai precisar usar o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra do quociente para derivar funções que são frações onde o numerador e o denominador são funções de t .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a t . No caso, queremos saber como g(t) muda quando t muda.

Passo 3

Como temos uma função que é uma fração, vamos usar a regra do quociente. A regra diz que se temos uma função u(t)v(t) , a derivada é:
g'(t) = u'(t) cdot v(t) - u(t) cdot v'(t)[v(t)]^2
Aqui, u(t) = t^3 - 2 e v(t) = t + 1 .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u(t) e v(t) :
u'(t) = ddt(t^3 - 2) = 3t^2
v'(t) = ddt(t + 1) = 1

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo tudo:
g'(t) = 3t^2 cdot (t + 1) - (t^3 - 2) cdot 1(t + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
3t^2 cdot (t + 1) = 3t^3 + 3t^2
- (t^3 - 2) = -t^3 + 2
Numerador total = 3t^3 + 3t^2 - t^3 + 2 = 2t^3 + 3t^2 + 2
Então, substituindo de volta:
g'(t) = 2t^3 + 3t^2 + 2(t + 1)^2

Resposta

A derivada da função g(t) = t^3 - 2t + 1 é:
g'(t) = 2t^3 + 3t^2 + 2(t + 1)^2

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