Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}^{2}-10 \mathrm{x}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é \displaystyle f(\mathrm{x})=6\mathrm{x}^{2}-10\mathrm{x}+3.
  • A variável independente é \mathrm{x}.
    A tarefa é obter a expressão de \dfrac{d y}{d x} (ou f'(\mathrm{x})) desta função.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se h(x)=u(x)+v(x) então h'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Constante multiplicativa: se h(x)=c\cdot u(x), com c constante, então h'(x)=c\cdot u'(x).
  • Derivada de constante: se k é constante, então k'=0.
  • Regra do poder (power rule): para u(x)=\mathrm{x}^{n}, com n número real, vale
u'(x)=n\,\mathrm{x}^{n-1}.
Explicando a regra do poder de um jeito bem prático: se você tem \mathrm{x}^{2}, a derivada é 2\mathrm{x}^{1}=2\mathrm{x}; se tiver \mathrm{x}^{3}, a derivada é 3\mathrm{x}^{2}, e assim por diante.

Passo 3

Aplicando a linearidade (regra da soma) à função dada, derivamos termo a termo:
\frac{d}{d\mathrm{x}}\big(6\mathrm{x}^{2}-10\mathrm{x}+3\big) = \frac{d}{d\mathrm{x}}\big(6\mathrm{x}^{2}\big) - \frac{d}{d\mathrm{x}}\big(10\mathrm{x}\big) + \frac{d}{d\mathrm{x}}\big(3\big).

Passo 4

Derivando cada termo usando a constante multiplicativa e a regra do poder:
Para o primeiro termo, use a constante 6 e a derivada de \mathrm{x}^{2}:
\frac{d}{d\mathrm{x}}\big(6\mathrm{x}^{2}\big)=6\cdot\frac{d}{d\mathrm{x}}\big(\mathrm{x}^{2}\big)=6\cdot(2\mathrm{x})=12\mathrm{x}.

Passo 5

Para o segundo termo, -10\mathrm{x}, a derivada de \mathrm{x} é 1, então:
\frac{d}{d\mathrm{x}}\big(-10\mathrm{x}\big)=-10\cdot\frac{d}{d\mathrm{x}}\big(\mathrm{x}\big)=-10\cdot 1=-10.

Passo 6

Para o terceiro termo, a constante 3, a derivada é zero:
\frac{d}{d\mathrm{x}}\big(3\big)=0.

Passo 7

Agora somo os resultados obtidos:
\frac{d y}{d x} = 12\mathrm{x} - 10 + 0 = 12\mathrm{x} - 10.
Como observação útil para a prova: pode-se também factorar se quiser uma forma alternativa,
12\mathrm{x}-10=2\big(6\mathrm{x}-5\big).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=12\mathrm{x}-10

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