Encontre até a derivada de ordem 3 das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas de ordem até 3 (ou seja, a primeira, a segunda e a terceira derivada). Vou listar claramente o que é pedido:
- Calcular
(derivada de primeira ordem). - Calcular
(derivada de segunda ordem). - Calcular
(derivada de terceira ordem).
Passo 2
Antes de começar a derivar, vamos revisar as regras que vou usar (explicadas de um jeito bem prático).
- Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes fatorando saem da derivada. Em símbolos:
onde
e
são constantes e
são as derivadas de
e
.
- Regra do termo constante: a derivada de uma constante é zero:
- Regra do expoente (power rule): para
real,
Aqui
é o expoente e
é a variável; essa regra diz que trazemos o expoente para frente e reduzimos o expoente em 1.
Com essas regras já conseguimos derivar qualquer polinômio de forma direta, termo a termo.
Passo 3
Aplicando essas regras à função termo a termo para obter a primeira derivada:
- Derivada de
: usar a regra do factor constante e a regra do expoente:
- Derivada de
: é um caso de com , e , então
- Derivada de
(constante):
Somando termo a termo (regra da linearidade), obtemos a primeira derivada:
Passo 4
Agora a segunda derivada: derivamos
. Partimos de
- Derivada de
: aplicar a regra do expoente com o fator constante:
- Derivada de
(constante) é .
Somando:
Passo 5
Terceira derivada: derivamos
. Partimos de
Aplicando a regra do expoente:
Portanto
Passo 6
Dica rápida para a prova (pra te deixar mais confiante): para polinômios sempre derive termo a termo. Cada derivada reduz o expoente em 1 e multiplica pelo expoente antigo. Polinômios simples como esse são feitos em segundos com prática. Você está indo bem — repete esse processo em alguns exercícios e fica automático!