Encontre até a derivada de ordem 3 das funções abaixo:
\mathrm{y}=3 x^{4}+8 x+5

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 3x^{4} + 8x + 5
e pede para encontrar as derivadas de ordem até 3 (ou seja, a primeira, a segunda e a terceira derivada). Vou listar claramente o que é pedido:
  • Calcular \displaystyle y' (derivada de primeira ordem).
  • Calcular \displaystyle y'' (derivada de segunda ordem).
  • Calcular \displaystyle y''' (derivada de terceira ordem).

Passo 2

Antes de começar a derivar, vamos revisar as regras que vou usar (explicadas de um jeito bem prático).
  • Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes fatorando saem da derivada. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big( a\cdot f(x) + b\cdot g(x) \big) = a\cdot f'(x) + b\cdot g'(x),
onde a e b são constantes e f'(x),g'(x) são as derivadas de f e g.
  • Regra do termo constante: a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(\text{constante}) = 0.
  • Regra do expoente (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}\big( x^{n} \big) = n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável; essa regra diz que trazemos o expoente para frente e reduzimos o expoente em 1.
Com essas regras já conseguimos derivar qualquer polinômio de forma direta, termo a termo.

Passo 3

Aplicando essas regras à função termo a termo para obter a primeira derivada:
  • Derivada de 3x^{4}: usar a regra do factor constante e a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\big(3x^{4}\big) = 3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big) = 3\cdot(4x^{3}) = 12x^{3}.
  • Derivada de 8x: 8x é um caso de a x com a=8, e \dfrac{d}{dx}(x)=1, então
\frac{d}{dx}(8x)=8\cdot 1 = 8.
  • Derivada de 5 (constante):
\frac{d}{dx}(5)=0.
Somando termo a termo (regra da linearidade), obtemos a primeira derivada:
y' = 12x^{3} + 8.

Passo 4

Agora a segunda derivada: derivamos y'. Partimos de
y' = 12x^{3} + 8.
  • Derivada de 12x^{3}: aplicar a regra do expoente com o fator constante:
\frac{d}{dx}\big(12x^{3}\big) = 12\cdot(3x^{2}) = 36x^{2}.
  • Derivada de 8 (constante) é 0.
    Somando:
y'' = 36x^{2}.

Passo 5

Terceira derivada: derivamos y''. Partimos de
y'' = 36x^{2}.
Aplicando a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\big(36x^{2}\big) = 36\cdot(2x) = 72x.
Portanto
y''' = 72x.

Passo 6

Dica rápida para a prova (pra te deixar mais confiante): para polinômios sempre derive termo a termo. Cada derivada reduz o expoente em 1 e multiplica pelo expoente antigo. Polinômios simples como esse são feitos em segundos com prática. Você está indo bem — repete esse processo em alguns exercícios e fica automático!

Resposta

\displaystyle y' = 12x^{3} + 8
\displaystyle y'' = 36x^{2}
\displaystyle y''' = 72x

Exercícios relacionados