Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=2 x^{4}-4 x^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=2x^{4}-4x^{2}+1 e pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou seja, f'(x)). As informações relevantes são:
  • A função é um polinômio em x: termos \,2x^{4}, -4x^{2} e 1.
  • O pedido é obter a derivada em função de x.

Passo 2

O que é derivada (uma explicação rápida e intuitiva).
  • A derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto — é a taxa de variação instantânea da função.
  • Formalmente, a derivada de f é dada por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas para polinômios é mais prático usar regras já estabelecidas (aqui abaixo).

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f(x)=u(x)+v(x) então f'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função sai como a constante vezes a derivada da função. Se f(x)=c\cdot g(x) então f'(x)=c\cdot g'(x), onde c é número.
  • Regra do expoente (power rule): para g(x)=x^{n} com n inteiro não negativo, tem-se
g'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável. Essa regra vem da definição de limite, mas é padrão e muito usada em provas.

Passo 4

Aplicando as regras ao primeiro termo \,2x^{4}.
  • Podemos ver \,2x^{4} como uma constante 2 multiplicando x^{4}.
  • Usando a regra do fator constante e a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{4}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=2\cdot\bigl(4x^{3}\bigr)=8x^{3}.

Passo 5

Aplicando às próximo termo -4x^{2}.
  • Trate como constante -4 vezes x^{2}.
  • Pela mesma combinação de regras:
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{2}\bigr)=-4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=-4\cdot\bigl(2x\bigr)=-8x.

Passo 6

Derivada do termo constante 1.
  • A derivada de uma constante é zero, porque constantes não variam quando x muda:
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 7

Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
f'(x)=8x^{3}-8x+0,
e simplificando:
f'(x)=8x^{3}-8x.
Podemos fatorar para deixar mais elegante (útil na prova para ver raízes ou simplificar):
f'(x)=8x(x^{2}-1)=8x(x-1)(x+1).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=8x^{3}-8x=8x(x^{2}-1)=8x(x-1)(x+1)

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