Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
(ou seja,
). As informações relevantes são:
- A função é um polinômio em
: termos , e . - O pedido é obter a derivada em função de
.
Passo 2
O que é derivada (uma explicação rápida e intuitiva).
- A derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto — é a taxa de variação instantânea da função.
- Formalmente, a derivada de
é dada por
mas para polinômios é mais prático usar regras já estabelecidas (aqui abaixo).
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função sai como a constante vezes a derivada da função. Se
então , onde é número. - Regra do expoente (power rule): para
com inteiro não negativo, tem-se
Aqui
é o expoente e
a variável. Essa regra vem da definição de limite, mas é padrão e muito usada em provas.
Passo 4
Aplicando as regras ao primeiro termo
.
- Podemos ver
como uma constante multiplicando . - Usando a regra do fator constante e a regra do expoente:
Passo 5
Aplicando às próximo termo
.
- Trate como constante
vezes . - Pela mesma combinação de regras:
Passo 6
Derivada do termo constante
.
- A derivada de uma constante é zero, porque constantes não variam quando
muda:
Passo 7
Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
e simplificando:
Podemos fatorar para deixar mais elegante (útil na prova para ver raízes ou simplificar):