Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=5 x^{2}+5 x-1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=5x^{2}+5x-1 e pede a derivada em relação a x, ou seja, calcular \dfrac{dy}{dx} (ou f'(x)). Informações úteis que temos:
  • Há três termos: 5x^{2}, 5x e -1.
  • Os expoentes presentes são 2 (no primeiro termo) e 1 (no segundo termo).
  • O terceiro termo é uma constante ( -1).

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (explicados de forma simples):
  • A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação ou a inclinação da reta tangente; operacionalmente, podemos calcular derivadas termo a termo usando regras práticas.
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes podem sair da derivada. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde a é uma constante.

Passo 3

Regra do poder (power rule), que é a principal aqui:
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1},
onde n é um número (por exemplo, n=2 \frac{d}{dx}x^{2}=2x). Exemplo rápido: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo à função f(x)=5x^{2}+5x-1:
Derivada do primeiro termo 5x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=5\cdot(2x)=10x.
Derivada do segundo termo 5x:
\frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=5\cdot 1=5.
Derivada do terceiro termo -1 (constante):
\frac{d}{dx}(-1)=0.
Agora somo as derivadas dos termos:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}+5x-1\bigr)=10x+5+0=10x+5.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=10x+5

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