Calcule as derivadas das seguintes funções:
(1,0) G(x)=integral0^x^2 raiz1+raizt d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral: G(x) = integral0^x^2 raiz1 + raizt , dt . O objetivo é calcular a derivada dessa função em relação a x . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele estabelece que se F(x) = integrala^u(x) f(t) , dt , então a derivada F'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) . Isso significa que para derivar uma integral que vai de uma constante até uma função de x , a gente avalia a função integranda no limite superior e multiplica pela derivada desse limite.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos G(x) = integral0^x^2 raiz1 + raizt , dt . Aqui, a função integranda f(t) = raiz1 + raizt e o limite superior é u(x) = x^2 . Então, a derivada G'(x) será:
G'(x) = raiz1 + raizx^2 cdot ddx(x^2)

Passo 4

Agora, vamos simplificar as partes dessa expressão. Primeiro, vamos calcular a derivada de x^2 em relação a x :
ddx(x^2) = 2x
Em seguida, simplificamos raizx^2 . Lembrando que raizx^2 = |x| , mas geralmente consideramos x >= 0 a menos que especificado diferente. Portanto, raizx^2 = x .

Passo 5

Substituindo essas simplificações na expressão da derivada, temos:
G'(x) = raiz1 + x cdot 2x
Podemos reescrever isso como:
G'(x) = 2x raiz1 + x

Resposta

A derivada da função é G'(x) = 2x raiz1 + x .

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