Calcule as derivadas das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral:
. O objetivo é calcular a derivada dessa função em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele estabelece que se
, então a derivada
. Isso significa que para derivar uma integral que vai de uma constante até uma função de
, a gente avalia a função integranda no limite superior e multiplica pela derivada desse limite.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, temos
. Aqui, a função integranda
e o limite superior é
. Então, a derivada
será:
Passo 4
Agora, vamos simplificar as partes dessa expressão. Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Em seguida, simplificamos
. Lembrando que
, mas geralmente consideramos
a menos que especificado diferente. Portanto,
.
Passo 5
Substituindo essas simplificações na expressão da derivada, temos:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A derivada da função é
.