Calcule as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a derivada da função
. Estamos lidando com derivadas de funções que são quocientes de outras funções elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função
, a derivada dela é:
Passo 3
No nosso caso,
e
. Vamos precisar das derivadas
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
Passo 4
Vamos derivar
. Usando a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Novamente, usando a Regra da Cadeia:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Observe que podemos fatorar
e
do numerador:
Passo 8
Simplificando ainda mais, cancelamos
no numerador com parte do denominador:
Passo 9
Vamos expandir e simplificar a parte dentro dos colchetes:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
A derivada da função é