Calcule as derivadas das seguintes funções.
k(u)=(u^2+1)^3(4 u-5)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a derivada da função k(u) = (u^2+1)^3(4u-5)^5 . Estamos lidando com derivadas de funções que são quocientes de outras funções elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função f(u)g(u) , a derivada dela é:
( f(u)g(u) )' = f'(u)g(u) - f(u)g'(u)[g(u)]^2

Passo 3

No nosso caso, f(u) = (u^2+1)^3 e g(u) = (4u - 5)^5 . Vamos precisar das derivadas f'(u) e g'(u) . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos funções compostas.

Passo 4

Vamos derivar f(u) = (u^2+1)^3 . Usando a Regra da Cadeia:
f'(u) = 3(u^2+1)^2 cdot ddu(u^2+1) = 3(u^2+1)^2 cdot 2u = 6u(u^2+1)^2

Passo 5

Agora, vamos derivar g(u) = (4u - 5)^5 . Novamente, usando a Regra da Cadeia:
g'(u) = 5(4u - 5)^4 cdot ddu(4u - 5) = 5(4u - 5)^4 cdot 4 = 20(4u - 5)^4

Passo 6

Agora que temos f'(u) e g'(u) , vamos aplicar a Regra do Quociente:
k'(u) = f'(u)g(u) - f(u)g'(u)[g(u)]^2 = 6u(u^2+1)^2 cdot (4u - 5)^5 - (u^2+1)^3 cdot 20(4u - 5)^4(4u - 5)^10

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Observe que podemos fatorar (u^2+1)^2 e (4u - 5)^4 do numerador:
k'(u) = (u^2+1)^2(4u - 5)^4 [6u(4u - 5) - 20(u^2+1)](4u - 5)^10

Passo 8

Simplificando ainda mais, cancelamos (4u - 5)^4 no numerador com parte do denominador:
k'(u) = (u^2+1)^2 [6u(4u - 5) - 20(u^2+1)](4u - 5)^6

Passo 9

Vamos expandir e simplificar a parte dentro dos colchetes:
6u(4u - 5) = 24u^2 - 30u
20(u^2+1) = 20u^2 + 20
24u^2 - 30u - 20u^2 - 20 = 4u^2 - 30u - 20

Passo 10

Substituindo de volta na expressão:
k'(u) = (u^2+1)^2 (4u^2 - 30u - 20)(4u - 5)^6

Resposta

A derivada da função é
k'(u) = (u^2+1)^2 (4u^2 - 30u - 20)(4u - 5)^6

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