Determine (i) a equação da reta tangente à curva no ponto indicado e (ii) os pontos da curva dada em que reta tangente à curva é horizontal, nos casos
y=(2 x-1)^10, P=(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida por
y = (2x - 1)^10
e o ponto P = (1,1). Pede (i) a equação da reta tangente à curva em P e (ii) os pontos onde a reta tangente é horizontal. Para isso vamos usar derivadas e, em particular, a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos a derivada de y em função de x. Pela regra da cadeia, se y = u^10 com u = 2x - 1, então
dydx = 10,u^9,dudx
e como dudx = 2, obtemos
dydx = 10,(2x - 1)^9 cdot 2 = 20,(2x - 1)^9

Passo 3

Para achar o coeficiente angular da reta tangente em P, avaliamos tfracdydx em x=1:
2cdot1 - 1 = 1 Longrightarrow dydx|x=1 = 20 cdot 1^9 = 20
Logo, o coeficiente angular da reta tangente em P é m=20.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta tangente em P=(1,1):
y - y0 = m,(x - x0)
com (x0,y0)=(1,1) e m=20. Assim
y - 1 = 20,(x - 1)
e simplificando, em forma explícita,
y = 20x - 19

Passo 5

A reta tangente é horizontal sempre que tfracdydx=0. Então resolvemos
20,(2x - 1)^9 = 0
o que dá 2x - 1=0 e portanto x=1. Substituindo em y=(2x-1)^10 obtém-se y=1^10=1. Logo o único ponto com tangente horizontal é (1,1).

Resposta

(i) y = 20x - 19
(ii) ponto de tangente horizontal: (1,1)

Exercícios relacionados