Determine (i) a equação da reta tangente à curva no ponto indicado e (ii) os pontos da curva dada em que reta tangente à curva é horizontal, nos casos .
Passo 1
O enunciado dá a curva definida por
e o ponto . Pede (i) a equação da reta tangente à curva em e (ii) os pontos onde a reta tangente é horizontal. Para isso vamos usar derivadas e, em particular, a regra da cadeia.
Passo 2
Calculamos a derivada de em função de . Pela regra da cadeia, se com , então
e como , obtemos
Passo 3
Para achar o coeficiente angular da reta tangente em , avaliamos em :
Logo, o coeficiente angular da reta tangente em P é m=20.
Passo 4
Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta tangente em P=(1,1):
y - y0 = m,(x - x0)
com (x0,y0)=(1,1) e m=20. Assim
y - 1 = 20,(x - 1)
e simplificando, em forma explícita,
y = 20x - 19
Passo 5
A reta tangente é horizontal sempre que tfracdydx=0. Então resolvemos
20,(2x - 1)^9 = 0
o que dá 2x - 1=0 e portanto x=1. Substituindo em y=(2x-1)^10 obtém-se y=1^10=1. Logo o único ponto com tangente horizontal é (1,1).
Resposta
(i) y = 20x - 19
(ii) ponto de tangente horizontal: (1,1)