Determine (i) a equação da reta tangente à curva no ponto indicado e (ii) os pontos da curva dada em que reta tangente à curva é horizontal, nos casos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar: (i) a equação da reta tangente à curva no ponto e (ii) os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar tangentes e analisar inclinações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando: . Para encontrar a reta tangente em , precisamos calcular a derivada dessa função, que nos dará a inclinação da tangente naquele ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . Usaremos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente no ponto :
Calculando dentro dos parênteses:
4(4) - 16 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3
Então:
dydxg|x=2 = 32(3)^3 cdot 1 = 32 cdot 27 = 864
Passo 5
Com a inclinação m = 864 e o ponto P = (2,81) , usamos a equação da reta na forma y - y1 = m(x - x1) :
y - 81 = 864(x - 2)
Simplificando:
y = 864x - 1728 + 81 y = 864x - 1647
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal, precisamos que a inclinação dydx = 0 . Voltando à derivada:
dydx = 32(4x^2 - 8x + 3)^3 cdot (x - 1) = 0
Isso ocorre quando:
x - 1 = 0 ou 4x^2 - 8x + 3 = 0
Passo 7
Primeiro, x - 1 = 0 dá x = 1 .
Agora, resolvendo 4x^2 - 8x + 3 = 0 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 8 pm raiz64 - 488 = 8 pm raiz168 = 8 pm 48
Então:
x = 128 = 32 ou x = 48 = 12
Passo 8
Agora, encontramos os valores de x : x = 1 , x = 32 e x = 12 .
Vamos calcular os valores de y para cada x :