Determine (i) a equação da reta tangente à curva no ponto indicado e (ii) os pontos da curva dada em que reta tangente à curva é horizontal, nos casos
y=(4 x^2-8 x+3)^4, P=(2,81).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar: (i) a equação da reta tangente à curva no ponto P = (2,81) e (ii) os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar tangentes e analisar inclinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando: y = (4x^2 - 8x + 3)^4 . Para encontrar a reta tangente em P = (2,81) , precisamos calcular a derivada dessa função, que nos dará a inclinação da tangente naquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y . Usaremos a regra da cadeia:
dydx = 4 cdot (4x^2 - 8x + 3)^3 cdot (8x - 8)
Simplificando:
dydx = 32(x^2 - 2x + 34)^3 cdot (x - 1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente no ponto x = 2 :
dydxg|x=2 = 32(4(2)^2 - 8(2) + 3)^3 cdot (2 - 1)
Calculando dentro dos parênteses:
4(4) - 16 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3
Então:
dydxg|x=2 = 32(3)^3 cdot 1 = 32 cdot 27 = 864

Passo 5

Com a inclinação m = 864 e o ponto P = (2,81) , usamos a equação da reta na forma y - y1 = m(x - x1) :
y - 81 = 864(x - 2)
Simplificando:
y = 864x - 1728 + 81 y = 864x - 1647

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal, precisamos que a inclinação dydx = 0 . Voltando à derivada:
dydx = 32(4x^2 - 8x + 3)^3 cdot (x - 1) = 0
Isso ocorre quando:
x - 1 = 0 ou 4x^2 - 8x + 3 = 0

Passo 7

Primeiro, x - 1 = 0 x = 1 .
Agora, resolvendo 4x^2 - 8x + 3 = 0 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 8 pm raiz64 - 488 = 8 pm raiz168 = 8 pm 48
Então:
x = 128 = 32 ou x = 48 = 12

Passo 8

Agora, encontramos os valores de x : x = 1 , x = 32 e x = 12 .
Vamos calcular os valores de y para cada x :
Para x = 1 :
y = (4(1)^2 - 8(1) + 3)^4 = (4 - 8 + 3)^4 = (-1)^4 = 1
Para x = 32 :
y = (4(32)^2 - 8(32) + 3)^4 = (4cdot 94 - 12 + 3)^4 = (9 - 12 + 3)^4 = 0^4 = 0
Para x = 12 :
y = (4(12)^2 - 8(12) + 3)^4 = (4cdot 14 - 4 + 3)^4 = (1 - 4 + 3)^4 = 0^4 = 0

Resposta

(i) A equação da reta tangente à curva no ponto P = (2,81) é:
y = 864x - 1647
(ii) Os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal são:
(1, 1), (32, 0) e (12, 0)

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