Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x)=raiz[3]8 x^3+27

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz[3]8x^3+27=(8x^3+27)^1/3
Para isso vamos usar a regra da cadeia, em que se temos f(x)=u(x)^n então
f'(x)=n,u(x)^,n-1,u'(x)

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=8x^3+27,
cuja derivada é
u'(x)=ddx(8x^3+27)=24x^2

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia com n=tfrac13 e u(x) acima, obtemos
f'(x)=13,u(x)^-2/3,u'(x) =13(8x^3+27)^-2/3cdot24x^2 =8x^2,(8x^3+27)^-2/3

Passo 4

Para escrever em forma de radical, lembramos que (8x^3+27)^-2/3=l((8x^3+27)^2r)^-1/3. Assim
f'(x) =8x^2raiz[3](8x^3+27)^2

Resposta

f'(x)=8x^2,(8x^3+27)^-2/3 ou f'(x)=8x^2raiz[3](8x^3+27)^2

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