Determine os coeficientes ck da série de Fourier do sinal x(t) dado por
x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=u(t+1)+u(t)-2 u(t-1), para T=3

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal periódico
x(t)=sumk=-infty^+inftyp(t-kT)
com T=3 e
p(t)=u(t+1)+u(t)-2,u(t-1)
Queremos os coeficientes da série de Fourier
cn=1Tintegralt0^t0+Tx(t),e^-j nomega0 t,dt,
onde omega0=tfrac2piT=tfrac2pi3. Vamos identificar primeiro a forma de p(t) e depois usar a integral sobre um período.

Passo 2

Analisando
Como a cada , basta integrar de a , mas note que fora de o integrando é zero, então podemos tomar integral de a .

Passo 3

Coeficiente de ordem zero ( n=0) é a média do pulso:
c0=1Tintegral-1^1p(t),dt =13l(integral-1^01,dt+integral0^12,dtr) =13l(1+2r) =1

Passo 4

Para nneq0 usamos
cn=13l(integral-1^01;e^-j n2pi3t,dt +integral0^12;e^-j n2pi3t,dtr)
Calculando cada integral (com omega0=tfrac2pi3 e nneq0):
integral-1^0e^-j nomega0 tdt =e^+j nomega0-1j nomega0, integral0^1e^-j nomega0 tdt =1-e^-j nomega0j nomega0
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cn =13l( e^j nomega0-1j nomega0 +2;1-e^-j nomega0j nomega0 r) =13,j nomega0l(e^j nomega0-1+2-2e^-j nomega0r)
Como 3,omega0=2pi, temos 3,j nomega0=j n2pi, portanto
cn =1j,n,2pil(e^j2pi n3+1-2,e^-j2pi n3r), nneq0

Resposta

c0 =1
Para nneq0:
cn =1j,n,2pil(e^j2pi n3+1-2,e^-j2pi n3r)

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