Verifique primeiramente que o ponto P pertence à curva dada e ache a equação da reta tangente à curva no ponto P.
2 x^3-x^2 y+y^3-1=0, P=(2,-3).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o ponto P=(2,-3) satisfaz a curva implícita
2x^3-x^2y+y^3-1=0
e, em seguida, encontrar a reta tangente à curva nesse ponto. O conteúdo necessário é derivação implícita.

Passo 2

Para verificar que P pertence à curva, substituímos x=2 e y=-3 em
2x^3-x^2y+y^3-1
Calculando:
2cdot 2^3 - 2^2cdot(-3) + (-3)^3 - 1 = 2cdot 8 + 4cdot 3 -27 -1 =16+12-27-1=0
Como o resultado é zero, P está na curva.

Passo 3

Chamando
F(x,y)=2x^3-x^2y+y^3-1,
derivamos implicitamente F(x,y)=0. Temos
Fx = partialpartial x(2x^3-x^2y+y^3-1) =6x^2-2xy,
Fy = partialpartial y(2x^3-x^2y+y^3-1) =-x^2+3y^2
Pela regra da cadeia,
Fx + Fy,dydx=0 Longrightarrow dydx=-FxFy =6x^2-2xy,x^2-3y^2,

Passo 4

Avaliamo dydx em P=(2,-3):
6x^2-2xy|(2,-3) =6cdot4 -2cdot2cdot(-3)=24+12=36,
x^2-3y^2|(2,-3) =4 -3cdot9 =4-27=-23,
dydx|P = 36-23=-3623

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto P=(2,-3) com coeficiente angular m=-tfrac3623 é
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y +3 = -3623,(x -2)
Multiplicando ambos os lados por 23 e reorganizando, obtemos a forma geral
36x +23y -3=0

Resposta

A reta tangente à curva em P=(2,-3) é
y +3 = -3623,(x -2) ou, equiva<=ntemente, 36x +23y -3=0

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