Determine os coeficientes ck da série de Fourier das funções periódicas a seguir:
x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=u(t+1)-u(t-1), para T=6

Passo 1

O enunciado diz que
x(t)=sumn=-infty^+inftyp(t-nT),
com p(t)=u(t+1)-u(t-1) (pulso unitário de duração 2 centrado em zero) e período T=6.
Queremos os coeficientes da série de Fourier
ck = 1Tintegralum período x(t),e^-j k omega0 t,dt, í
onde omega0 = 2piT = pi3. Como x(t) é só repetições de p(t), basta integrar num pulso onde p(t)=1, ou seja de -1 a 1.

Passo 2

Escrevendo o coeficiente geral para kinZ:
ck = 16integral-1^1 e^-j k (pi/3),t,dt
Aqui tiramos 1/6 fora e integramos só onde p(t)=1.

Passo 3

Calculamos a integral:
integral-1^1 e^-j k (pi/3),t,dt = [e^-j k (pi/3),t-j k (pi/3)]t=-1^t=1 = e^-j k pi/3-e^j k pi/3-j k (pi/3)
Como e^-jalpha-e^jalpha=-2jsinalpha, temos
integral-1^1 e^-j k (pi/3),t,dt = -2jsinl(kpi/3r)-j k (pi/3) = 2sinl(kpi/3r)k(pi/3) = 6sinl(kpi/3r)pi k

Passo 4

Multiplicando pelo 1/6 que estava fora:
ck = 16cdot6sinl(kpi/3r)pi k = sinl(tfracpi k3r)pi k
Para k=0 usamos o limite limkto0sin(pi k/3)/(pi k)=1/3, logo
c0 = 26 = 13

Resposta

boxedck = sinl(tfracpi k3r)pi k, kneq0, e c0 = 13
Uma forma compacta é
ck = 13,sinc!l(tfrack3r),
onde sinc(x)=dfracsin(pi x)pi x.

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