Calcule as derivadas das seguintes funções.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=4l(9t^2+16r)^2/3
Aqui vamos usar a regra da cadeia e a regra de potência, pois temos um polinômio elevado a uma potência fracionária.

Passo 2

Reescrevemos f(t) numa forma de potência para facilitar a diferenciação:
f(t)=4,(9t^2+16)^-2/3

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: se f(t)=4,[g(t)]^m com m=-tfrac23 e g(t)=9t^2+16, então
f'(t)=4cdot m,[g(t)]^m-1cdot g'(t)

Passo 4

Calculamos m e g'(t):
m=-tfrac23, g'(t)=ddt(9t^2+16)=18t
Substituindo em f'(t):
f'(t)=4cdotl(-tfrac23r),(9t^2+16)^-5/3cdot 18t

Passo 5

Simplificamos as constantes:
4cdotl(-tfrac23r)cdot 18 = -48,
ficando
f'(t)=-48,t,(9t^2+16)^-5/3
Em seguida escrevemos em forma de fração:

Resposta

f'(t)=-48,tl(9t^2+16r)^5/3

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