Determine os coeficientes ck da série de Fourier do sinal x(t) dado por
x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=-u(t)+u(t-2)+de<a(t-3), para T=6

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes de Fourier ck de período T=6 do sinal
x(t)=sumn=-infty^inftyp(t-nT),
onde
p(t)=-u(t)+u(t-2)+de<a(t-3)
O conteúdo aqui é a série de Fourier complexa de período T, cujo coeficiente geral é
ck = 1Tintegral0^Tx(t),e^-jkomega0t,dt, omega0 = 2piT

Passo 2

Como x(t) é a extensão periódica de p(t), basta integrar num período, digamos tin[0,6). Em [0,6) temos
  • de t=0 a t=2: p(t)=-1,
  • de t=2 a t=6, excluindo t=3: p(t)=0,
  • em t=3: um impulso de<a(t-3).

Passo 3

Avaliaremos a parte contínua (de 0 a 2):
integral0^2(-1),e^-jkomega0t,dt = -integral0^2 e^-jk2pi6t,dt = -integral0^2 e^-jkpi3t,dt
Como
integral0^2 e^-jkpi3t,dt =[e^-jkpi3t-jkpi3]0^2 =3-jkpil(e^-j2kpi3-1r),
obtém-se
integral0^2(-1)e^-jkpi3t,dt =3jkpil(e^-j2kpi3-1r)

Passo 4

A contribuição do impulso em t=3 é
integral0^6de<a(t-3),e^-jkomega0t,dt =e^-jkomega0cdot3 =e^-jk2pi6,3 =e^-jkpi =(-1)^k

Passo 5

Juntando tudo em
ck = 16gl[underbrace3jkpil(e^-j2kpi3-1r)parte retangular ;+; underbrace(-1)^kimpulsogr]
Podemos simplificar escrevendo
ck =16,3jkpil(e^-j2kpi3-1r) +(-1)^k6 =12,jkpi,l(e^-j2kpi3-1r) +(-1)^k6
Ou, em forma com seno,
e^-j2kpi3-1 =-2j,e^-jkpi3sin!l(kpi3r),
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ck =-1kpi,e^-jkpi3sin!l(kpi3r) +(-1)^k6

Resposta

boxed ck =16,3jkpil(e^-j2kpi3-1r) +(-1)^k6
ou equivalentemente
boxed ck =-1kpi,e^-jkpi3sin!l(tfrackpi3r) +(-1)^k6

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