Calcule as derivadas das seguintes funções.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(z)=raiz[3]2z+3raiz3z+2
Aqui vamos usar as regras de derivação de funções compostas (cadeia), a regra do produto e, em seguida, simplificar o resultado.

Passo 2

Reescrevemos g(z) em potências para facilitar:
g(z) = (2z+3)^tfrac13,(3z+2)^-tfrac12

Passo 3

Definimos
u(z) = (2z+3)^tfrac13, v(z) = (3z+2)^-tfrac12,
de modo que g(z)=u(z),v(z). Pela regra do produto,
g'(z) = u'(z),v(z) + u(z),v'(z)
Calculando cada derivada por cadeia:
u'(z) = 13(2z+3)^-tfrac23cdot 2 = 23(2z+3)^-tfrac23,
v'(z) = -12(3z+2)^-tfrac32cdot 3 = -32(3z+2)^-tfrac32
Substituindo em g'(z):
g'(z) = 23(2z+3)^-tfrac23(3z+2)^-tfrac12 - 32(2z+3)^tfrac13(3z+2)^-tfrac32

Passo 4

Fatoramos o menor expoente em cada base, isto é (2z+3)^-tfrac23 e (3z+2)^-tfrac32:
g'(z) = (2z+3)^-tfrac23(3z+2)^-tfrac32 l[tfrac23(3z+2)-tfrac32(2z+3)r]
No colchete temos
tfrac23(3z+2)-tfrac32(2z+3) =2z+tfrac43-3z-tfrac92 =-z-tfrac196 =-6z+196
Logo
g'(z) = -6z+196,(2z+3)^-tfrac23(3z+2)^-tfrac32 = -6z+196,(2z+3)^tfrac23(3z+2)^tfrac32

Resposta

g'(z) = -6z+196,(2z+3)^tfrac23(3z+2)^tfrac32

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