Determine os coeficientes ck da série de Fourier do sinal x(t) dado por
x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=u(t+2)-2 u(t)+u(t-1), para T=4

Passo 1

O enunciado define
x(t)=sumk=-infty^+inftyp(t-kT), T=4
com
p(t)=u(t+2)-2,u(t)+u(t-1)
Queremos achar os coeficientes complexos da série de Fourier
ck=1Tintegralum períodox(t),e^-jkomega0t,dt, í
onde omega0=2piT=pi2. Como x(t) é a extensão periódica de p(t), basta integrar p(t) num intervalo de comprimento 4.

Passo 2

Para facilitar, vamos desenhar p(t) em um período de comprimento 4, por exemplo em tin[-2,2). Usando definições de degrau:
  • Para -2<= t<0: u(t+2)=1, u(t)=0, u(t-1)=0 Rightarrow p(t)=1.
  • Para 0<= t<1: u(t+2)=1, u(t)=1, u(t-1)=0 Rightarrow p(t)=1-2cdot1= -1.
  • Para 1<= t<2: todos os degraus valem 1 Rightarrow p(t)=1-2+1=0.
    Fora de [-2,2) repete-se esse padrão.

Passo 3

Escrevemos então, para kneq0:
ck=14integral-2^2p(t),e^-jkpi2t,dt =14l(integral-2^01cdot e^-jkpi2tdt +integral0^1(-1)cdot e^-jkpi2tdtr),
pois p(t)=0 em [1,2).

Passo 4

Calculamos a primeira integral:
integral-2^0e^-jkpi2tdt =[e^-jkpi2t-jkpi2]t=-2^0 =2-jkpil(1 - e^jkpir) =-2jkpil(1-(-1)^kr)

Passo 5

A segunda integral é
integral0^1(-1)e^-jkpi2tdt =-integral0^1e^-jkpi2tdt =-[e^-jkpi2t-jkpi2]0^1 =-2jkpil(e^-jkpi2-1r)

Passo 6

Somando e simplificando:
ck =142jkpil[-l(1-(-1)^kr)-l(e^-jkpi2-1r)r] =12jkpil[(-1)^k - e^-jkpi2r]

Passo 7

Para k=0 usamos a média:
c0=14l(integral-2^01,dt+integral0^1(-1),dtr) =14(2-1)=14

Resposta

ck = 14, & k=0, [6pt] (-1)^k - e^-j k pi22 j k pi, & k neq 0 ]

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