Determine os coeficientes ck da série de Fourier do sinal x(t) dado por
x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=u(t+1)-u(t)-de<a(t-1), para T=3

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes da série de Fourier de período T=3 do sinal
x(t)=sumk=-infty^+inftyp(t-kT), p(t)=u(t+1)-u(t)-de<a(t-1)
O conteúdo usado será a definição dos coeficientes de Fourier
cn=1Tintegralt0^t0+Tx(t)e^-j nomega0 t,dt,
com omega0=2piT. Como x(t) é repetição de p(t), basta integrar p(t) num período.

Passo 2

Escrevemos
ck=13integral-1^2p(t),e^-j komega0 t,dt,
onde escolhemos o intervalo [-1,2] por conter exatamente um “pulso retangular” de p em [-1,0) e o delta em t=1.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes: o pulso contínuo u(t+1)-u(t) em [-1,0) e o impulso -de<a(t-1). Assim
integral-1^2p(t)e^-j komega0 tdt =integral-1^01cdot e^-j komega0 tdt ;-;integral-1^2de<a(t-1),e^-j komega0 tdt

Passo 4

A parte contínua é
integral-1^0e^-j komega0 tdt =[e^-j komega0 t-j komega0]t=-1^0 =1-e^,j komega0j komega0

Passo 5

A parte do impulso dá
integral-1^2de<a(t-1),e^-j komega0 tdt =e^-j komega0cdot1 =e^-j k2pi3
Como em p(t) esse termo vem com sinal “menos”, ficamos com -e^-j k2pi3.

Passo 6

Somando e multiplicando por 1/3, usando omega0=2pi/3, obtemos para kneq0:
ck =13gl(1-e^j k2pi3j k2pi3 -e^-j k2pi3gr) =1-e^j2pi k3j2pi k -13e^-j2pi k3

Passo 7

O coeficiente de média ( k=0) é
c0=13l(underbraceintegral-1^01,dt=1 -underbraceintegral-1^2de<a(t-1)dt=1r) =0

Resposta

Para todo inteiro kneq0:
ck =1-e^,j2pi k3j2pi k -13e^-j2pi k3,
e
c0=0

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