Calcule as derivadas das seguintes funções:
(3) f(x)=arccos (1-x^2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=arccosl(1 - x^2r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada à função inversa arccos. Vamos lembrar a derivada de arccos(u) e depois calcular u'(x).

Passo 2

A derivada de arccos(u) em relação a x é dada por
ddxl[arccos(u)r] = -u'raiz1 - u^2

Passo 3

No nosso caso, definimos
u(x) = 1 - x^2
Logo, a sua derivada é
u'(x)=ddxl[1 - x^2r]=-2x

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
f'(x) = -u'(x)raiz1 - [u(x)]^2 = --2xraiz1 - l(1 - x^2r)^2 = 2xraiz1 - l(1 - x^2r)^2

Passo 5

Podemos simplificar o radicando:
1 - l(1 - x^2r)^2 = 1 - l(1 - 2x^2 + x^4r) = 2x^2 - x^4 = x^2,(2 - x^2)
Então
raiz1 - l(1 - x^2r)^2 = raizx^2,(2 - x^2) = |x|,raiz2 - x^2
Portanto, uma forma equivalente de escrever f'(x) é
f'(x) = 2x|x|,raiz2 - x^2,
o que para x>0 vira 2raiz2 - x^2 e, para x<0, -2raiz2 - x^2.

Resposta

f'(x) = 2xraiz1 - l(1 - x^2r)^2 ou f'(x) = 2x|x|,raiz2 - x^2

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