Determine as derivadas de ordem superior das seguintes funções:
(1) Calcule a segunda derivada de f(x)=ln (x^2+3).

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f(x)=lnl(x^2+3r). Para isso, vamos primeiro calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia (derivada de ln(u) é u'/u) e em seguida obter a segunda derivada aplicando a regra do produto (ou do quociente) e simplificando.

Passo 2

Para achar f'(x), seja u(x)=x^2+3. Então
u'(x)=2x
e pela regra da cadeia
f'(x)=u'(x)u(x) =2xx^2+3

Passo 3

Escrevemos
f'(x)=2x,(x^2+3)^-1
e aplicamos a regra do produto:
f''(x) =ddxl[2x,(x^2+3)^-1r] =2,(x^2+3)^-1 +2xcdot(-1),(x^2+3)^-2cdot2x
Isso dá
f''(x) =2x^2+3 -4x^2(x^2+3)^2 =2l(x^2+3r)-4x^2(x^2+3)^2 =6-2x^2(x^2+3)^2 =2,3-x^2(x^2+3)^2

Resposta

f'(x)= 2xx^2+3
f''(x)= 2,3-x^2(x^2+3)^2

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