Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como integral e^x^2 d x não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
d yd x=e^x^2 y^2, y(2)=1
A equação diferencial separa se dividirmos por y^2 e multiplicarmos por d x. Integramos a equação de separação de x=2 para x=x1 e encontramos
integralx=2^x=x1 e^x^2 d x & =integralx=2^x=x1 d yy^2 & =-1y|x=2 ^x=x1 & =-1y(x1)+1y(2)
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c).
d y / d x=e^x^2 y^-2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx=e^x^2,y^-2, y(0)=1,
usando o método de equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dydx=e^x^2,y^-2 Longrightarrow y^2,dy=e^x^2,dx
Agora integramos dos pontos iniciais até um ponto genérico x e y(x):
integraly=1^y=y(x) y^2,dy = integralt=0^t=x e^t^2,dt

Passo 3

Calculamos o lado esquerdo explicitamente e deixamos o direito em forma de integral indefinida com limite variável:
integral1^y(x) y^2,dy =gl[y^33gr]1^y(x) =y(x)^33-13,
logo
y(x)^33-13 =integral0^xe^t^2,dt

Passo 4

Multiplicando por 3 e isolando y(x), obtemos
y(x)^3 =1+3integral0^xe^t^2,dt Longrightarrow y(x)=l(1+3!!integral0^xe^t^2,dtr)^!1/3

Resposta

y(x)=gl(1+3integral0^xe^t^2,dtgr)^1/3

Exercícios relacionados