Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
A equação diferencial separa se dividirmos por e multiplicarmos por . Integramos a equação de separação de para e encontramos
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c). d y / d x=e^x^2 y^-2, y(0)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx=e^x^2,y^-2, y(0)=1,
usando o método de equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
dydx=e^x^2,y^-2 Longrightarrow y^2,dy=e^x^2,dx
Agora integramos dos pontos iniciais até um ponto genérico x e y(x):