Calcule as derivadas das seguintes funçōes:
g(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada da função g(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}.
Neste exercício, vamos aplicar conceitos de derivadas de funções racionais e, em particular, a regra do quociente.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para duas funções u(x) e v(x),
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)' \;=\;\frac{v\,u' - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 3

Identificamos u(x)=x^{3} v(x)=x^{2}+1
e calculamos as derivadas: u'(x)=3x^{2} v'(x)=2x.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente,
g'(x) =\frac{(x^{2}+1)\,(3x^{2}) \;-\; x^{3}\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(x^{2}+1)\,3x^{2} - 2x^{4} =3x^{4} + 3x^{2} - 2x^{4} =x^{4}+3x^{2} =x^{2}(x^{2}+3).
Logo,
g'(x)=\frac{x^{2}(x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

g'(x)=\frac{x^{2}(x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{2}}.

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